一种非均匀传输线方程的时域求解方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及一种非均匀传输线方程的时域求解方法。
【背景技术】
[0002] 传输线传输方程（transmission equations of transmission line)是描述传输 线上任意点电压U、电流I与传输线一次参数之间关系的微分方程组。传输线上的电压不 仅是时间的函数，还是空间距离的函数，在准TEM波近似下传输线的分布参数模型可以用 一组时域偏微分方程（亦称电报方程）来描述。该方程不仅与传输线初值有关，还与边值 有关。由于传输线的首末端电压和电流之间的关系是由电源、负载等决定的，没有规律可 循，使得传输线电报方程的求解成为学术界的研究热点之一。除了极个别特殊类型的传输 线（如无损和无畸变传输线）方程具有解析解之外，绝大多数的传输线方程没有解析解而 只能进行数据求解。
[0003] 目前对于电报方程的求解方法主要有时域和频域两类方法。时域法就是在不同的 条件下直接求解时域偏微分方程，方法相对简单，但不易分析具有频变参数的传输线，另外 受算法稳定性及精度的影响，该方法受到了很大的限制；频域法的特点是能方便地处理传 输线电磁参量的频变特性，以及诸如电容、电感等这类具有记忆的元件，但不易分析传输线 端接非线性负载、传输线的非零初始值等问题。
[0004] 对于均匀传输线来说，由于其分布参数不随位置而变化，其分析相对比较简单。然 而，当传输线本身是非均匀的，或者由于交叉、弯曲等，必须将其作为非均匀传输线考虑 时，均匀传输线的分析方法不再适用。目前分析非均匀传输线电报方程的常用方法是等效 级联模式法。这种方法是将非均匀传输线划分为若干小段，对于每一小段可近似地当作均 匀传输线来处理。这种方法虽然概念相对简单，但是用突变模型来模拟连续变化将会带来 很大的误差，并且为了提高计算精度，必须尽可能地细分传输线，增大了计算量，降低了计 算效率。
【发明内容】
[0005] 本发明所要解决的技术问题是提供一种非均匀传输线方程的时域求解方法。
[0006] 为解决上述技术问题，本发明采取的技术方案如下：一种半解析的、无条件稳定的 非均匀传输线方程的时域求解方法，包括如下步骤：
[0007] 1)将非均匀有损传输线在TEM波近似假设下的电压、电流的时域电报方程：
[0009] 给定传输线的初始条件和边界条件：
[0010] V (X，0) = Ii1 (X)和 i (X，0) = h2 (X) (2)
[0011] v(0, t) = Fji (0, t)，vs(t)]和 i (1，t) = F2[v(l，t)] (3)
[0012] 式中：0彡x彡1，I为传输线的长度，R(x)、L(x)、C(x)和G(x)分别是传输线单 位长度的电阻、电感、电容和电导，V(x，t)表示传输线上X处t时刻的对地电压，i(x，t)表 示传输线上X处t时刻的电流，Ii 1 (X)、h2 (X)分别表示t = 0时传输线上X处的电压、电流， F1 [i (0, t)，Vs (t)]表示传输线输入端的电压与输入端电流、激励电压源之间的函数关系， F2[v(l，t)]表示传输线输出端电流与电压之间的函数关系，Vs(t)表示施加于传输线输入 端的激励电压源；
[0013] 在空间采用M等份差分法离散，得到微分方程组：
[0015] 传输线初始条件和边界条件：
[0016] vk (0) = Ii1 (k · Δ X)，ik (〇) = h2 (k · Δ X) (5)
[0017] v〇(t) = Fji0 ⑴，vs ⑴]，iM(t) = F2[vM(t)] (6)
[0018] 式中，vk(t) = v(k · Δ X，t)，ik(t) = i (k · Δ X，t)，Rk= R(k · Δ χ)，Lk= L(k · Δ χ)， Ck= C(k · Δ x)，G k= G(k · Δ x)，k = 0, 1，L，M_l，Δ x = 1/M ;
[0019] 2)将⑷~（6)式写成矩阵的形式：
[0025] 3)根据微分方程理论，求解（7)式，其解为：
[0027] 4)将⑶式进一步变换为：
[0029] 式中：tj彡t彡t .j+1，tj= j τ j = 〇, 1，2,…，τ表示时间步长；
[0030] 5)将非齐次项F在时间Uj, tj+1)内线性化，即将F表示为：
[0031] F (t) = r〇+r! (t-t j) (10)
[0032] 式中：
[0039] 7)由（11)式得到t = tj+1= t，τ时的表达式：
[0040] XJ+1= T [X J+H 1 (r0+H T1) ] -H 1 (r〇+H T^r1 τ ) (12)
[0041] 式中：
[0042] T = exp (Η τ )
[0043] 8)求解T阵，即可获得非均匀传输线方程的时域解。
[0044] 由此可见，非均匀传输线瞬态响应的分析最终归结到了（12)式中T阵的计算。从 以上的推导过程看，本发明是一种半解析的时域求解方法，无条件稳定，简单、精确。对于非 均匀传输线方程求解，按（12)式进行计算，完全以传输线的非均匀性为基础，不需要对传 输线进行任何近似假设，也不需要进行分段等效，所以本发明求解方法简单明了，接近于实 际。
[0045] 作为本发明步骤8)中T阵的一种计算方法，本发明步骤8)中T阵的求解步骤如 下：
[0046] 8-1)利用指数函数的加法定理，将T阵变换成：
[0047] exp(H · τ ) = [exp (Η · τ /m)]m (13)
[0048] 8-2)取 Δ t = τ /m，exp (Η · τ /m)的泰勒展开式为：
[0049] exp(H · At)~I+H · At+(H · At)2/2 ! +(H · At)3/3 ! +· · ·+(H · At)VQ !
[0050] = I+Ta (14)
[0051] 其中，Q为整数，I为单位矩阵，
[0052] Ta= H · Δ t+ (Η · Δ t) 72+ (Η · Δ t) 3/3+· · · + (Η · Δ t) VQ (15)
[0053] 8-3)取m = 2N，N为整数，将（13)式变换成：
[0055] 该处m的取值有利于简化T的计算；
[0056] 8-4)求解（16)式。
[0057] 所述N = 20,所述Q = 4,取这两个值不但能简化计算，而且能使T、Ta具有足够的 计算精度。
[0058] 所述步骤8-4)的求解过程如下：
[0059] 8-4-1)令
[0065] 该方法按（17)式进行递推计算，排除了单位矩阵I与1；反复相加再反复乘积的 运算，本方法只在最后一步即（18)式中进行I与Ta的加法运算，避免了因 Ta很小，T 3在I 与Ta的反复相加再反复乘积的运算中，出现有效数字严重丧失的问题，保证了 T 3及T的极 高计算精度，同时又大大减小了计算量。
[0066] 相对于现有技术，本发明具有如下有益效果：
[0067] 本发明非均匀传输线方程的时域求解方法，按（12)式进行计算，完全以传输线的 非均匀性为基础，不需要对传输线进行任何近似假设，也不需要进行分段等效，本发明求解 方法简单明了，接近于实际，而且无条件稳定，极大地简化了问题分析的难度，提高了非均 匀传输线方程求解的精度和效率。
【附图说明】
[0068]图1为本发明的非均匀传输线示意图。
【具体实施方式】
[0069] 如图1所示的非均匀有损传输线，在TEM波近似假设下，其电压、电流的时域电报 方程为：
[0071] 给定传输线的初始条件和边界条件为：
[0072] V (X，0) = Ii1 (X)和 i (X，0) = h2 (X) (2)
[0073] v (0, t) = F1 [i (0, t)，vs (t)]和 i (1，t) = F2 [v (1，t) ] (3)
[0074] 式中：0彡x彡1，1为传输线的长度，R(x)、L(x)、C(x)和G(x)分别是传输线单 位长度的电阻、电感、电容和电导，V(x，t)