基于弱形式求积元法计算材料裂纹尖端应力场系数的方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于含缺陷材料分析的技术领域，具体涉及一种材料裂纹尖端应力场系数 的计算方法。
【背景技术】
[0002] 材料裂纹尖端应力场系数是描述裂纹尖端应力强度及其分布情况的重要参数。上 世纪50年代，M.L.Williams运用一系列特征展开式来表不裂纹尖J而应力场，该展开式各项 的系数即为裂纹尖端应力场系数。这些裂纹尖端应力场系数可以通过引入荷载和边界条件 来求解得到。
[0003] 在裂纹尖端应力场系数方法提出之初，由于只有一些几何形状和荷载条件、边 界条件相对比较简单的问题可以得到解析解，因此其应用比较有限。后来随着计算机技 术的快速发展，新的数值计算方法不断涌现，可以处理情况比较复杂的问题，因此逐渐成 为求解裂纹尖端应力场系数的主要方法，并受到越来越多的关注和研宄，其中应用最为 广泛的当属有限元法（FiniteElementMethod)，因为它具有稳定高效、流程标准、便于 程序化实现等优点。Karihaloo和Xiao通过运用有限元法，在裂纹尖端建立一种杂交裂 纹单元（HybridCrackElement)，计算了多种边界条件下的应力场系数，计算结果具有 较好的精度。Su和Feng、Su和Fok同样利用有限元法，在裂纹尖端建立分形有限单元 (FractalFiniteElement)，计算了多种情况下的应力场系数，也得到了比较好的计算 精度和效率。Ayatollahi和Nejati则开发了一种超确定性有限元法（FiniteElement Over-DeterministicMethod)。以上几种方法都基于有限元法，虽然能够得到比较准确的 结果，但是由于都需要在裂纹尖端建立反映裂尖奇异性的特殊单元，因此造成理论推导比 较繁琐、运用不够直接等缺点。近年来，新兴的无网格法（MeshlessMethod)得到快速发 展，He等运用基于无网格伽辽金法（Element-FreeGalerkin)的比例边界方法（Scaled BoundaryMethod)来计算应力场系数。但是，无网格法由于需要确定一些未知参数，如插值 域的大小、背景积分域的大小等，因此具有计算量较大、效率不高等缺点。
【发明内容】
[0004] 针对现有技术中存在的技术问题，本发明所要解决的技术问题就是提供一种基于 弱形式求积元法（WeakFormQuadratureElementMethod)计算材料裂纹尖端应力场系数 的方法，它能准确、简单、直接地得到裂纹尖端应力场系数，从而为材料的工程应用提供参 考。
[0005] 本发明所要解决的技术问题是通过这样的技术方案实现的，它包括以下步骤：
[0006] 步骤1、根据分区广义变分原理，将含裂纹区域划分为势能区、余能区及其边界，建 立分区广义变分方程；
[0007] 步骤2、建立势能区势能、余能区余能和势能区与余能区边界上的混合功的表达 式，利用弱形式求积元法对这些表达式中的数值积分和微分进行离散近似；
[0008] 步骤3、运用变分驻值条件，得到含应力场系数的代数方程组；通过求解代数方程 组即可直接得到应力场系数。
[0009] 与现有的技术相比，由于本发明将弱形式求积元法与分区广义变分原理相结合， 使本发明具有以下显著的优点：
[0010] 1、计算推导过程更加直接、简明。
[0011] 2、对裂纹尖端的奇异性不需要进行特殊处理。
[0012] 3、通过增加单元内部节点数量提高计算精度，从而有效减少单元划分数量。
【附图说明】
[0013] 本发明的【附图说明】如下：
[0014] 图1为含裂纹区域划分示意图；
[0015] 图2为含中心穿透裂纹矩形钢板示意图。
【具体实施方式】
[0016] 下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明：
[0017] 本发明包括以下步骤：
[0018] 步骤1、根据分区广义变分原理，将含裂纹区域划分为势能区、余能区及其边界，建 立分区广义变分方程
[0019] 如图1所示含裂纹区域，可将其划分为两个子区域，分别为势能区和余能区。余 能区是以裂纹尖端为圆心，半径为1的圆形区域，其自变量为应力；势能区是余下的外围区 域，其自变量为位移。
[0020] 根据分区广义变分原理，参见文献Long,Y.Q.，Sub-regiongeneralized principlesinelasticity.ShanghaiJournalofMechanics, 1981. 22:p. 1-9.(龙驭 球.弹性力学中的分区广义变分原理.上海力学，1981. 22:p. 1-9.)，该系统的能量泛函IT 可表示为：
[0021] n=IIp_IIc+IIPC (1)
[0022] 式a)中，nP为势能区势能，n。为余能区余能，nrc为两个子区域边界上余能区 应力在势能区位移上所做的混合功。
[0023] 步骤2、建立势能区势能、余能区余能和势能区与余能区边界上的混合功的表达 式，利用弱形式求积元法对这些表达式中的数值积分和微分进行离散近似；
[0024] 步骤1)、势能区势能nP的推导
[0025] 图1中所示的势能区可根据问题需要将其划分为若干个求积单元，势能区的势能 为所有求积单元的势能之和，即：
【主权项】
1. 基于弱形式求积元法计算材料裂纹尖端应力场系数的方法，其特征是；包括w下步 骤： 步骤1、根据分区广义变分原理，将含裂纹区域划分为势能区、余能区及其边界，建立分 区广义变分方程； 步骤2、建立势能区势能、余能区余能和势能区与余能区边界上的混合功的表达式，利 用弱形式求积元法对该些表达式中的数值积分和微分进行离散近似； 步骤3、运用变分驻值条件，得到含应力场系数的代数方程组；通过求解代数方程组即 可直接得到应力场系数。
2. 根据权利要求1所述的基于弱形式求积元法计算材料裂纹尖端应力场系数的方法， 其特征是，在步骤2中，势能区的势能rip为；
式中，K为整体刚度矩阵，Q为整体荷载向量，d为整体位移向量，cT为d的转置。
3. 根据权利要求2所述的基于弱形式求积元法计算材料裂纹尖端应力场系数的方法， 其特征是，在步骤2中，余能区的余能n。为；
式中，A为裂纹尖端应力场系数向量，at为A的转置，M为与裂纹尖端应力场系数向量 对应的积分矩阵。
4. 根据权利要求3所述的基于弱形式求积元法计算材料裂纹尖端应力场系数的方法， 其特征是，在步骤2中，势能区与余能区边界上的混合功rip。为； Hpc=A"Wd 式中，W为与裂纹尖端应力场数向量和整体位移向量对应的矩阵。
5. 根据权利要求4所述的基于弱形式求积元法计算材料裂纹尖端应力场系数的方法， 其特征是，在步骤3中，含应力场系数的代数方程组为：
【专利摘要】本发明公开了一种基于弱形式求积元法计算材料裂纹尖端应力场系数的方法，它包括以下步骤：步骤1、根据分区广义变分原理，将含裂纹区域划分为势能区、余能区及其边界，建立分区广义变分方程；步骤2、建立势能区势能、余能区余能和势能区与余能区边界上的混合功的表达式，利用弱形式求积元法对这些表达式中的数值积分和微分进行离散近似；步骤3、运用变分驻值条件，得到含应力场系数的代数方程组；通过求解代数方程组即可直接得到应力场系数。本发明具有的优点是：计算推导过程更加直接、简明；对裂纹尖端的奇异性不需要进行特殊处理；通过增加单元内部节点数量提高计算精度，从而有效减少单元划分数量。
【IPC分类】G06F17-50
【公开号】CN104850683
【申请号】CN201510185898
【发明人】廖旻懋, 唐安, 胡高, 陈朝晖, 郭早阳
【申请人】重庆大学
【公开日】2015年8月19日
【申请日】2015年4月20日