基于非标准快速Fourier变换和交替方向法的平行束CT稀疏角度重建方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及一种CT图像重建方法，特别是涉及一种基于非标准快速Fourier变换 和交替方向法的平行束CT稀疏角度重建方法。
【背景技术】
[0002] 计算机断层成像扫描（ComputedTomography, CT)是一种先进的透视成像技术，凭 借其无损、精确、三维可视化等优点，CT已在工业无损检测和医疗诊断等各个领域获得了广 泛的应用。随着CT设备性能的不断提高，其在临床应用上产生的X射线辐射问题也引起了 人们的广泛关注，有效降低CT扫描的辐射剂量是目前CT领域亟待解决的热点和难点。
[0003] 近年来利用稀疏角度投影进行CT重建，通过在360角度范围内按一定间隔等扫 描角度采样的CT稀疏角度图像重建是一种有效的降低辐射剂量的方法，它可以明显缩短X 射线扫描的照射时间。然而研宄表明，由于投影数据不满足Tuy-Smith数据完备性条件，解 析型重建算法无法得到良好的重建质量，重建图像往往伪影严重。目前针对稀疏角度的CT 图像重建方法基本都是基于优化思路的迭代方法，然而迭代型重建算法所需的计算资源、 存储资源都非常大，随着重建规模的增加，重建的存储需求和计算量迅速增加，在很多情况 下，很难满足实际应用的需求。以迭代算法中通用的反投影计算为例：设待重建三维图像的 各维尺寸都为N，则相应反投影的计算复杂度将高达0 (N4)，重建一个分辨率为5123的三维 图像，计算将循环687. 2亿次，在普通PC机上完成如此大的计算量是非常耗时的，难以满足 实际应用的要求。
[0004] 中心切片定理揭示了投影空间与Fourier空间的内在联系，为直接Fourier方法 (Direct FourierMethod，DFM)提供了理论基础。从中心切片定理提出开始，DFM方法就一 直受到研宄者关注。传统的Fourier重建方法在坐标系转化时，利用插值的方法得到笛卡 尔坐标系下的频域采样点，这种方法得到的频域采样不可避免的引入了插值误差，由于时 频变换的全局特性，经过Fourier反变换后误差会扩散到整个原始图像，从而造成较大的 重建误差。
[0005]非标准快速 Fourier 变换（NonUniformFastFourierTransform，NUFFT)是在非标 准空间进行傅立叶变换的一系列快速算法。该类算法首先使用窗函数对原始数据进行加 权，然后计算过采样FFT，最后再使用窗函数与过采样FFT的结果进行卷积实现对非均匀坐 标空间下的傅里叶变换。由于窗函数的平滑作用减小了插值误差，从而使得NUFFT算法具 有较高的精确性。
[0006] 经过现有技术的文献检索发现，利用非标准快速Fourier变换实现平行束CT重建 的文献采取的实现方式存在对投影数据集的完整性要求高、迭代收敛慢等不足。2004年， Matej S, Fessler J和 Kazantsev G在 IEEE Transactions on Medical Imaging期干lj上发 表论文〈〈Iterative tomographic image reconstruction using Fourier-based forward and back-projectors》，在平行束投影的迭代重建中，采用NUFFT方法来计算投影和反投 影，从而加快了重建速度，该方法的不足在于迭代框架采用的是传统的CG方法，该方法收 敛速度慢，且对投影数据的角度数目要求较高，针对稀疏角度的重建情形难以得到高质量 的重建图像。
[0007] TV最小化方法：
[0008] 近年来基于压缩感知理论和正则化方法发展起来的重建算法能够对较低采样下 的投影数据进行有效重建。根据待重建目标通常具有的近似分片常数特性，可利用全变分 (Total Variation，TV)最小化的方法进行重建。
[0009] 2008 年，Sidky E 和 Pan X?在 Physics in Medical and Biology 期刊上发 表论文〈〈Image reconstruction in circular cone-beam computed tomography by constrained, total-variation minimization》，提出了的基于TV最速下降和凸集投影约 束相结合的ASD-P0CS算法，较传统的迭代型算法，在重建质量上有较大的改善。
[0010] 2011 年，Vandeghinste B，Goossens B 和 Beenhouwer J 等人在 International Meeting on Fully Three-Dimensional Reconstruction in Radiology and Nuclear Medicine 上发表论文〈〈Split-Bregman-based sparse-view CT reconstruction〉〉，用 Split-Bregman算法应用于CT图像重建中，并取得了优于ASD-POCS算法的重建效果。
[0011] 2013 年，Zhang Han-Ming, Wang Lin-Yuan, Yan Bin 等人在 Chinese Physics B 期干丨J 上发表论文〈〈Image reconstruction based on alternating direction total variation minimization in linear scan computed tomography〉〉，提出了一种基于 TV最 小化和交替方向法的ADTVM(alternating direction total variation minimization)迭 代重建算法，在直线CT重建问题中取得了较好的重建结果。
[0012] 上述基于TV最小化的重建方法均是空域迭代型重建算法，虽然迭代框架结构优 于传统的迭代算法，但依旧存在计算资源和存储资源消耗大的问题。
【发明内容】
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[0013] 本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的缺陷，结合NUFFT技术和优化策略 中先进的交替方向思想，设计一种既能避免频域插值、对计算和存储资源需求小，又具有收 敛性能好、重建质量高特点的基于非标准快速Fourier变换和交替方向法的平行束CT稀疏 角度重建方法。
[0014] 本发明的技术方案通过如下步骤实现：
[0015] 步骤1 :对平行束CT采集到的投影数据进行一维FFT变换，得到对应的极坐标下 的投影频域数据；
[0016] 步骤2 :在基于极坐标的投影频域基础上，利用NUFFT技术实现图像空频域变换， 以避免频域插值造成的精度损失，并建立TV最小化图像重建模型；
[0017] 步骤3 :在从投影频域恢复待重建图像的过程中，设计了基于TV最小化的频域优 化模型，利用交替方向法对TV最小化模型通过增广Lagrangian函数法和交替方向乘子法 进行迭代求解。
[0018] 步骤2的具体流程包括：在平行束CT系统中，设待重建图像为f，令0为物体旋 转的角度，s为探测器上的探元索引，探测器采集的投影为p 0 (s)。根据中心切片定理，投影 数据pe (s) -维Fourier变换后的投影频域为P，它和极坐标分布下图像频域具有等价对 应关系。令各代表非标准快速Fourier变换算子，用非标准快速Fourier变换实现待重建 图像f和其极坐标下图像频域之间的空频域变换，可建立如下重建模型：
[0019]
【主权项】
1. 一种基于非标准快速Fourier变换和交替方向法的平行束CT稀疏角度重建方法，其 特征是：通过如下步骤实现： 步骤1 :对平行束CT采集到的投影数据进行一维FFT变换，得到对应的极坐标下的投 影频域数据； 步骤2 :在基于极坐标的投影频域基础上，利用NUFFT技术实现图像空频域变换，以避 免频域插值造成的精度损失，并建立TV最小化图像重建模型； 步骤3 :在从投影频域恢复待重建图像的过程中，设计了基于TV最小化的频域优化模 型，利用交替方向法对TV最小化模型通过增广Lagrangian函数法和交替方向乘子法进行 迭代求解。
2. 根据权利要求1所述的基于非标准快速Fourier变换和交替方向法的平行束CT稀 疏角度重建方法，其特征是：步骤2的具体流程包括：在平行束CT系统中，设待重建图像为 f，令0为物体旋转的角度，s为探测器上的探元索引，探测器采集的投影SP0(s)。根据中 心切片定理，投影数据pe (s) -维Fourier变换后的投影频域为P，它和极坐标分布下图像 频域具有等价对应关系。令％代表非标准快速Fourier变换算子，用非标准快速Fourier 变换实现待重建图像f和其极坐标下图像频域之间的空频域变换，可建立如下重建模型：
结合TV正则化手段，对该问题进行求解。以TV最小化为目标函数，建立带约束的优化 模型如下： f*=argmin||f| TV,
其中，IIfI|TV为图像f的梯度的LI范数。
3. 根据权利要求1所述的基于非标准快速Fourier变换和交替方向法的平行束CT稀 疏角度重建方法，其特征是：步骤3的求解流程包括：令向量w代表f?的离散梯度，算子D为 梯度求解运算，则变量代换后等价的约束优化模型如下： min| |w| |s.t.P= /vf,Df=wandf^ 0. 构建相应的增广Lagrangian乘子函数：
其中，v和A为Lagrangian乘子，|3和y为惩罚项平衡系数。原TV最小化问题则 等价于增广Lagrange函数的最小化求解问题。采用交替方向优化策略，通过分离变量将该 问题分解为2个单目标优化的子问题进行交替求解，步骤如下： (a) 初始化：f°= 0，v= 〇，入=〇, |3 = |3。，y=y。，并令k= 0。 (b) 求解w子问题：
该子问题可以利用shrinkage算子实现快速求解：
(c) 求解f子问题：
对Dk(f)关于f求偏导并令其等于零可得f的求解表达如下：
其中M+表示M的Moore-Penrose伪逆，FNT表示NUFFT算子的伴随变换算子。 (d)更新乘子v和入。 v ' = v - 0 (Dfk+1-wk+1)
(e) 收敛条件： 设定e>0,当||fk+1-fk||2<e时，则停止迭代，并输出重建图像f: =fk+1;否则，令k=k+1并转回步骤（b)。
【专利摘要】本发明公开了一种基于非标准快速Fourier变换和交替方向法的平行束CT稀疏角度重建方法，克服了现有技术中，图像重建方法仍有缺陷的问题。该发明的步骤如下：对平行束CT采集到的投影数据进行一维FFT变换，得到对应的极坐标下的投影频域数据；在基于极坐标的投影频域基础上，利用NUFFT技术实现图像空频域变换，以避免频域插值造成的精度损失，并建立TV最小化图像重建模型；在从投影频域恢复待重建图像的过程中，设计了基于TV最小化的频域优化模型，利用交替方向法对TV最小化模型通过增广Lagrangian函数法和交替方向乘子法进行迭代求解。本发明结合NUFFT技术和优化策略中先进的交替方向思想，能避免频域插值、计算和存储资源需求小，收敛性能好。
【IPC分类】G06T11-00
【公开号】CN104574458
【申请号】CN201410848116
【发明人】李磊, 张瀚铭, 常青美, 金朝, 王林元, 蔡爱龙, 闫镔, 陈建林
【申请人】中国人民解放军信息工程大学
【公开日】2015年4月29日
【申请日】2014年12月31日