专利名称：一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法
技术领域：
本发明属电路分析方法领域，具体涉及一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法。
背景技术：
现有技术公开的集成电路生产制造工艺中，流片所得到器件的几何和电学参数与设计标称值之间的相对误差不大，但随着集成电路半导体制造技术向65nm/45nm/32nm工艺节点发展，复杂工艺如纳米工艺下亚波长光刻、大马士革铜互连和化学机械抛光(Chemical Mechanical Polishing, CMP)等被广泛采用，使得实际制造出的娃片图案与设计版图偏差日益严重[1，2]。光刻工艺中光波的干涉和衍射效应使得硅片上的版图在水平方向发生严重畸变，CMP工艺则会导致铜或介质在垂直高度方向发生偏差。例如在45纳米工艺中，⑶的三倍标准偏差已可达其均值的35%以上[3]。在集成电路制造过程中，由于工艺扰动等原因，导致实际制造出来的电路参数与设计的标称值之间存在明显的不一致，这将对电路的稳定性产生显著影响，从而最终影响成品率。因此，针对模拟集成电路稳定性分析，仅分析电路参数在标称值一点处的稳定状况已不能满足设计者的需求，他们更关心当多个电路参数同时发生变化时，在整个参数变化空间中电路稳定性的分布状况，即找到在参数变化空间中的哪些区域系统稳定，哪些区域系统不稳定，并由此计算稳定区域体积与总的参数空间的体积比，称为稳定百分比。但是，在高维多参数空间中，分析模拟电路的稳定性分布并不容易。如一个经典的RAFFC放大器[4]含有11个电路元件参数，约减后仍有7个参数。为计算该电路在整个参数空间中的稳定性分布，若每个参数轴上仅采10个点，张量积后总的采样次数将达到107，这种计算量随着维度指数膨胀是高维稳定性分布分析的瓶颈问题。因此，针对模拟电路稳定性分布问题，必须采用高效的分析方法解决高维下计算量大的难题。目前，针对模拟电路多参数鲁棒稳定性分布的分析方法主要有:控制理论中鲁棒稳定性分析、蒙特卡洛分析方法、模拟电路符号仿真与敏感性分析方法以及区间计算方法等，但这些方法都有各自的适用范围。目前，关于鲁棒稳定性，控制理论中有考虑特征多项式系数之间完全独立的Kharitonov定理、系数之间呈线性相关的棱边定理(Edge Theorem)等理论结果[5]。但电路设计者关心的并不是多项式系数扰动而是实际电路参数的扰动，将电路参数转化为特征多项式的系数后，系数之间将呈现复杂的非线性关系而不再保留独立性。遗憾的是，当特征多项式系数之间呈非线性相关性时，控制理论中关于鲁棒稳定性问题并没有相应的理论结果O蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法是在参数空间进行随机采样，并对每一个采样电路，应用稳定性的“点分析”方法获得该采样点处的稳定状况，通过大量采样点得到参数空间中稳定性的分布状况，并统计得到稳定百分比[6]。蒙特卡洛方法优点在于实现简单，可以反复调用确定系统的求解方法获得稳定性分布。但它的缺点也非常明显:首先，为满足精度要求需大量采样，且计算量随参数维度的增加呈指数膨胀，难以适用于高维的稳定性分布分析。其次，离散的“点采样”方式不可能取尽连续空间中的所有值，因此它属于非确定性方法，它给出的统计结论是概率意义下的。例如，在一个很小区域内，即使进行100万次蒙特卡洛采样且得到100万个采样系统均稳定的结果，也不能判断系统在该区域是稳定的。模拟电路的符号仿真和敏感性分析方法是一类高效的电路分析方法，它可用于电路参数变化时稳定性分布的分析。在SPICE等传统的电路仿真工具中，电路参数为数值并进行数值矩阵运算。符号型仿真工具与此不同，其电路参数为符号，通过符号矩阵方法如DDD [7，8]或直接利用电路拓扑进行符号化分析如GRASS [9，10]，得到模拟电路的传递函数表达式，并在此基础上求得频域中传递函数关于任意电路参数、版图尺寸等参数的导数的符号表示，即频域敏感度[11]。获得传递函数和频域敏感度的符号表达式有助于设计者对电路关键参数进行优化，通过敏感度的直观显示，让设计者洞察电路参数变化是如何影响电路性能的。但是，并非所有电路的稳定性都可采用符号表达。依据控制理论中关于系统稳定性的定义，电路稳定即要求传递函数的分母特征多项式的根均在左半平面[12]，但只有四阶以内的多项式，其根才有显式的表达式[13]。因此，对于大于四阶的特征多项式，无法从传递函数得到稳定性的解析表达式，即高阶电路的稳定性分析难以应用符号化方法。第二，即使得到稳定性的符号表达式，但在高维参数空间中统计其稳定百分比也绝非易事。例如，对于一个有7个电路参数(pl，…，p7)的二阶带通滤波器，每个参数在一个区间范围内变化，需要计算电路参数变化空间中稳定电路的百分比。由于电路阶数低，可直接得到传递函数分母D(S)的根的实部关于电路参数的解析表达式记为f(pl，…，p7)，稳定性问题转变为计算一个7维电路参数向量中，满足f(pl，…，p7) < O部分的参数空间的体积与总参数变化空间的体积之比。由于隐函数f(pl，…，p7) = O代表一个高维空间中复杂非线性曲面，计算它两侧的体积并不容易。因此对于这样一个“简单”问题的稳定性分布分析也绝非易事，需要寻找其它高效的方法。区间计算最初由R.E.Moore博士在1966提出[14]。它把计算的数存储为区间^ = ，这里X，J分别代表区间X的上下界，并保证对这些区间进行运算时，区间计算的结果包含值域中所有可能取值，从而提高了计算结果的可靠性，具有重要的实用意义。由于区间计算仅在区间端点进行而不用涉及区间内部的点，因此区间计算效率非常高。
目前，区间计算方法已发展出一整套实函数方程区间迭代法，实非线性方程组区间迭代法，一致性方法(Consistencies)等数学方法,并应用于带扰动线性和非线性区间矩阵求解、无约束和不等式、等式约束的全局优化等数学问题中[15]。在电路分析中区间计算也有广泛的应用[16]。Kolev将区间计算方法引入鲁棒电路分析之中[16],Dreyer将符号运算和区间运算用于模拟电路分析[17，18]。Kolev利用控制理论中的Routh准则和Frazer-Duncan准则并结合Affine算术(一种改进的区间计算方法)用于线性系统的鲁棒稳定性分析[19]。遗憾的是，由于该方法没有引入空间切分策略，无法直接应用于稳定性分布分析。Ratschek提出了切片、子切片和二分等切分策略用于求解一个9维电路设计问题的一个可行解[20]，但该方法无法直接应用于求解整个参数变化空间的稳定性分布问题。综上所述，针对模拟电路参数空间中鲁棒稳定性分布分析的问题，现有的控制论方法无法解决参数之间的非线性相关性问题；蒙特卡洛方法计算量大，属于非确定性方法无法判断区域的稳定性，只能解决低维问题；符号仿真与敏感性分析方法只能处理低阶电路的稳定性问题；区间计算尚没有直接可用的方法。为克服现有技术方法的不足，本发明拟将利用模拟电路的符号仿真技术和区间计算方法，并结合控制论中的Rcnith Table稳定性判定法则[12]、高维空间切分技术和重要性釆样(Important sampling)的蒙特卡洛方法，解决模拟电路在参数空间中稳定性分布问题和稳定百分比等统计问题。与本发明相关的参考文献有:[I] J.G.Bralla，“The Design for Manufacturability Handbook”，McGraw HillProfessional Publishing,1998.
[2]S.Borkar, et al.，“Parameter Variations and Impact on Circuits andMicroarchitecture, ” IEEE/ACM DAC, pp.338-342，June 2003.
[3]S.Nassif，“Modeling and Analysis of Manufacturing Variations”，IEEECICC，pp.223-228，2001.
[4]Grasso，A.D.，Palumbo，G.and Pennisi，S.Advances in reversed nested Miller compensation.1EEE Transactions on Circuits and Systems I:RegularPapers, vol.54 (7)，1459—1470，July 2007.
[5] S.P.Bhattacharyya, H.Chapel Iat & L.H.Keel.Robust Control-TheParametric Approach, Pretice Hall, Upper Saddle River, NJ,1995.
[6]P.Wambacq, G.Gielen, and W.Sansen.Symbolic network analysis methodsfor practical analog integrated circuits:a survey.1EEE Trans, on Circuits andSystems-1I:Analog and Digital Signal Processing, vol.45(10), pp.1331-1341,1998.
[7]C.-J.Shi and X.-D.Tan.Canonical symbolic analysis of large analogcircuits with determinant decision diagrams.1EEE Trans, on Computer-Aided Designof Integrated Circuits and Systems, vol.19，n0.1，pp.1-18, January 2000.
[8] S.-D.Tan and C.-J.Sh1.Efficient approximation of symbolicexpressions for analog behavioral modeling and analysis.1EEE Trans,on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, vol.23，n0.6，pp.907-918，June 2004.
[9] Shi G，Chen W, Shi C J R.A graph reduction approach tosymbolic circuit analysis.Proc.Asia South-Pacific Design Automat ionConference (ASP-DAC)，Yokohama, Japan:1EEE，2007:197-202[10]G.Shi and X.Meng.Variational analog integrated circuit design viasymbolic sensitivity analysis.1EEE International Symposium on Circuits andSystems, pp.3002-3005.2009.[11]Yang，H.Symbolic sensitivity analysis techniques and applications in analog circuit synthesis.Phd.Dissertation.University of Cincinnat1.2006.
[12]Norman Nise.Control Systems Engineering.5th Ed., Wiley.2007.
[13]Henning E.Matrix Approximation Techniques for Symbolic Extractionof Poles and Zeros.Analog Integrated Circuits and Signal Processing.31:81-100,2002.
[14]Moore, R.E.1nterval Analysis, Prentice-HalI, Englewood Cliffs，NewJersey,1966.
[15]Eldon Hansen, G.William ffalster.Global Optimization Using IntervalAnalysis.Marcel Dekker, Inc.NEW YORK 2004.
[16]L.V.Kolev.1nterval methods for circuit abalysis.World Scientificpublishing C0.Pte.Ltd.MA, USA.1993.
[17]Dreyer, A.Combination of symbolic and interval-numeric methods foranalysis of analog circuits.Proc.8th International Workshop on Symbolic Methodsand Applications in Circuit Design(SMACD 2004).
[18]Dreyer, A.1nterval Analysis of Linear Analog Circuits.ScientificComputing,Computer Arithmetic and Validated Numerics,SCAN 2006.12th GAMM-1MACSInternational Symposium.
[19]L.Kolev.1nterval Raus criterion for stability analysis of linearsystems with dependent coefficients in the characteristic polynomial.27th IntSpring Seminar on Electronics Technology.2005,130-135.
[20]H.Ratschek.Experiments using interval analysis for solving acircuit design problem.Journal of Global Optimization.1993,501-518.
[21]Mingguang, Yi, Stability consideration for high-frequency activefilters.Acta elecronica sinica, vol.20(5), pp.81-84,1992.
发明内容
本发明的目的是为了克服现有技术的不足，针对模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的问题，提供一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法。本发明利用模拟电路的符号仿真技术,并结合控制论中的Routh Table稳定性判别方法、区间计算方法和高维空间切分技术、重要性蒙特卡洛采样方法，形成一个在参数扰动空间中，模拟电路鲁棒稳定性分布的分析方法，该方法能解决模拟电路稳定性分布和稳定百分比等统计问题。具体而言，本发明的一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法，其特征在于，结合区间计算方法和参数轴相关性优先的切分方法，依照稳定性对参数空间进行切分，其包括步骤:(I)利用符号仿真工具，从电路网表计算得到电路传递函数；(2)利用稳定性判定方法，将模拟电路的稳定性判定问题转化为为非线性不等式组的区间计算问题；(3)利用区间计算方法和参数轴相关性优先的切分方法，采用递归的方式将参数空间切分为:电路为稳定、电路为不稳定、不能确定电路是否稳定三类不同的参数向量的集合；(4)针对不确定的电路参数向量集合，以体积为权重，利用重要性蒙特卡洛采样方法估算其稳定性的百分比；(5)利用稳定、不稳定电路参数向量的集合，以及不确定电路参数向量集合的稳定百分比，计算电路参数空间的稳定百分比；
最终，整个方法的输出为:稳定、不稳定和不确定这三类不同电路参数向量的集合，构成该电路的稳定性分布；同时获得电路参数空间的稳定百分比。本发明中，输入为:(I)模拟电路的网表或电路图；⑵电路参数的标称值和扰动范围；输出为:(I)电路的稳定性分布，即电路为稳定、电路为不稳定、不能确定电路是否稳定(称为不确定)三类不同的参数空间的电路参数向量集合；(2)参数空间的稳定百分比。本发明中，通过连续的五个步骤获得模拟电路的稳定性分布，具体包括:第一步:输入模拟电路的网表，利用符号仿真工具，从电路网表计算得到模拟电路传递函数的符号表不H(s ；p)；第二步:利用Routh Table稳定性判定方法,将给定传递函数H(s ;p)的电路稳定性判定问题转化为非线性不等式组的区间计算问题；第三步:利用区间计算方法和参数轴相关性优先切分方法，利用递归的方式将参数向量P切分为:电路为稳定、电路为不稳定、不能确定电路是否稳定三类不同的参数向量的集合；第四步:针对不能确定电路是否稳定的电路参数向量集合，以体积为权重，利用重要性采样蒙特卡洛方法估算其稳定性的百分比；第五步:利用电路为稳定、电路为不稳定电路参数向量的集合，以及不确定电路参数向量集合的稳定百分比，计算参数空间的稳定百分比。本发明方法的主要技术特点有:第一，属于确定性方法。该方法判定稳定性采用的是区间计算方法，因此，若参数空间中的一个电路参数向量被判定为稳定，则该电路参数向量内所有点均稳定，它是严格和确定的；而基于采样的蒙特卡洛方法，它的结果是概率意义下的，无法得出该立方体内全部稳定的结论。第二，本方法中，提出关于参数轴相关性优先的切分技术并结合参数空间的“二分法”，它有效地提升了高维参数空间中的切分效率。第三，对于最终无法判定稳定性的电路参数向量，提出采用基于体积的重要性蒙特卡洛采样方法对稳定百分比进行估算。更具体的，本发明通过下述步骤建立模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法:第一步:输入模拟电路的网表，利用符号仿真工具，从电路网表计算得到模拟电路传递函数的符号表示H(s ；p)利用符号仿真工具得到的电路传递函数的符号表示H(s ；p)为:
权利要求
1.种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法，其特征在于，结合区间计算方法和参数轴相关性优先的切分方法，依照稳定性对参数空间进行切分，其包括步骤: (1)利用符号仿真工具，从电路网表计算得到电路传递函数； (2)利用稳定性判定方法，将模拟电路的稳定性判定问题转化为为非线性不等式组的区间计算问题； (3)利用区间计算方法和参数轴相关性优先的切分方法，采用递归的方式将参数空间切分为:电路为稳定、电路为不稳定、不能确定电路是否稳定三类不同的参数向量的集合； (4)针对不确定的电路参数向量集合，以体积为权重，利用重要性蒙特卡洛采样方法估算其稳定性的百分比； (5)利用稳定、不稳定电路参数向量的集合，以及不确定电路参数向量集合的稳定百分t匕，计算电路参数空间的稳定百分比； 所述的方法的输出为:稳定、不稳定和不确定三类不同电路参数向量的集合，构成所述电路的稳定性分布；同时获得所述电路参数空间的稳定百分比。
2.权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的步骤(2)中，通过RouthTable稳定判定方法，将模拟电路的稳定性判定问题转化为非线性不等式组的区间计算问题，其包括步骤: 对于传递函数为H(s ；p) = N(s ；p)/D(s ；p)的模拟电路，其中传递函数的分母为特征多项式:
3.权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的步骤(3)中，通过递归方式将原始参数向量P切分为稳定、不稳定和不确定类参数向量的集合，通过下述步骤: 输入:函数F (P)，P = (P1，…，Pj，…，卩^巧二匕/ ’^…^是“隹的电路参数向量，参数空间总的体积V，最小阈值ε ； 输出:稳定、不稳定和不确定类参数向量的集合:稳定集合Φ3、不稳定集合Ous、不确定集合Φ。。; 第(O)步:初始化:设置稳定集合Os、不稳定集合Ous、不确定集合Ou。为空集； 第⑴步:计算m维电路参数P张成的体积vol =W (P1) X...W (Pj)...Xw (pm),^(Pj) = Pj-P1' 第(2)步:计算式(8)，若满足式(8)不等式，则系统稳定，将P加入稳定集合Φ3中并跳转至第(7)步； 第(3)步:计算式(9)，若满足式(9)不等式，则系统不稳定，将P加入不稳定集合Ous中并返回并跳转至第(7)步； 第(4)步:若满足vol/V < ε，将P加入不确定集合C>u。中并跳转至第(7)步； 第(5)步:调用参数轴相关性优先算法，将m维参数P构成的空间按照相关性优先的原贝U，采用二分法切分为子空间的集合Ps ； 第(6)步:对子空间集合ps中的每一个元素，递归调用本稳定性分布计算算法； 第(7)步:结束。
4.权利要求1所述的方法，其特征是，所述的步骤(3)中，对参数空间采用参数轴相关性优先的切分方法，通过如下步骤: 对于给定的函数fi(P)，i = 1，...，k.其中:p= (P1，…，pm)，A=[己，巧U = 1”__，m，Pj为第j维上的区间变量，k与式(6)中定义一致； 引入另外一个区间变量V ^满足尸;CR，则定义化与p' ^之间关于&(!))的长度比率为:
5.权利要求1所述的方法，其特征是，所述的步骤(4)中，针对不确定的电路参数向量集合，以体积为权重，利用重要性采样蒙特卡洛方法估算其稳定性的百分比，通过如下步骤: 通过所述的步骤(3)后，最初的参数向量P被分解为稳定集合Φ3、不稳定集合Ous、不确定集合Ou。，得参数空间中稳定性的分布状况，并显然有:
6.权利要求1所述的方法，其特征是，所述的步骤(5)中，利用稳定集合03、不稳定集合Ous,以及不确定集合Φ 。的稳定百分比，通过下式算得全参数空间的稳定百分比Sp:
7.权利要求1或6所述的方法，其特征是，所述方法分析获得:(I)初始参数空间被分解为:稳定电路参数向量的集合、不稳定电路参数向量集合以及不确定电路参数向量的集合，它们给出了参数空间中稳定性的分布状况；(2)式(20)给出了参数空间稳定的百分比。
全文摘要
本发明属电路分析领域，涉及一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布的分析方法。本发明结合模拟电路符号仿真技术、控制论中的Routh Table等稳定性判别方法、区间计算方法、高维空间切分技术和重要性采样蒙特卡洛方法，建立一个完整的模拟电路在多参数空间中鲁棒稳定性分布分析方法。该方法克服了现有技术的不足，采用区间计算方法，得到的稳定性结论是确定性的结论；采用参数轴相关性优先的切分技术，有效地提升高维参数空间中的切分效率；针对无法判定稳定性的电路参数向量集合，采用基于体积的重要性采样蒙特卡洛方法对其稳定百分比进行估算。该方法可解决模拟电路在参数空间中稳定性分布问题和稳定百分比等统计问题。
文档编号G06F17/50GK103093019SQ201110346689
公开日2013年5月8日 申请日期2011年11月6日 优先权日2011年11月6日
发明者严昌浩, 曾璇 申请人:复旦大学