一种提升小波薄板弯曲单元构造方法

专利名称：一种提升小波薄板弯曲单元构造方法
技术领域：
本发明属有限元分析领域，具体涉及一种提升小波薄板弯曲单元构造方法。
背景技术：
有限元法自问世半个多世纪以来，在工程数值分析中发挥了重要的作用，其应用范围已拓展到机械、能源、航空航天和国防等许多工程技术领域。进入新世纪，有限元法在不断扩大应用范围的同时，自身的理论和方法也在不断地发展。广义协调元、理性有限元、复合单元、无单元等新型有限元方法被相继提出，解决了工程实践中的许多疑难问题。
小波分析是近年来形成和发展迅速的一种数学方法，它在信号分析、图象识别、函数逼近等领域得到广泛应用。由于小波具有两尺度多分辨特性，能够提供丰富的基函数，将小波理论应用到有限元中，可以构造出嵌套递进的多分辨有限元逼近空间，随着细节空间的不断增加，使得小波基函数可以聚焦到研究对象的任意细节，被数学家和工程师们誉为“数学显微镜”。近年来小波有限元法的研究受到了国内外学者的高度重视。
目前应用较多的小波函数有Daubechies小波、样条小波等，其构造方法主要依赖于傅立叶变换。Sweldens在时域中采用提升框架构造出一类第二代小波，其提升方法是一种不依赖Fourier变换的小波构造方法，算法简单、运算速度快、需要内存空间小。将提升方法用在信号处理中已经研究较多，但是如何有效地将性能优越的提升方法与有限元构造理论结合，仍然是一个尚未解决的课题。

发明内容
本发明的目的在于，提供一种提升小波薄板弯曲单元构造方法，充分利用提升方法算法简单、运算速度快、需要内存空间小的优点，构造相应的提升小波薄板单位，用于解决薄板结构的多尺度分析问题，算法的数值稳定性好、运算速度快、求解精度高。
为了实现上述目的，本发明采取的技术方案是1)通过迭代对偶提升，构造提升小波的尺度函数及小波函数；2)配置提升小波单元的节点，构造初始逼近空间的小波单元；3)通过构造逐级扩大的多分辨空间小波单元，实现提升小波薄板弯曲单元构造。
所说的通过迭代对偶提升，构造提升小波的尺度函数及小波函数，包括以下步骤选择懒小波作为初始小波，通过对初始小波进行对偶提升获得提升小波的尺度函数及小波函数。即对逼近信号uj施加一个δ序列得uj＝{…，0，0，1，0，0，…}，取细节信号rj为0序列，不断进行迭代uj=uj+ΣmNj,mrmj]]>式中j表示尺度，m为整数，Nj，m是基于两尺度关系获得的迭代系数。当j→+∞时，得到一个连续的尺度函数φ(x)。
对细节信号rj施加一个δ序列即rj＝{…，0，0，1，0，0，…}，取逼近信号uj为0序列，不断进行迭代rj=rj+ΣmMj,mumj]]>式中Mj，m是基于拉格朗日多项式获得的迭代系数。当j→+∞时，得到一个连续的小波函数ψ(x)。
所说的配置提升小波单元的节点，构造初始逼近空间的小波单元，包括以下步骤采用A0空间提升小波的尺度函数构造初始逼近空间小波单元，薄板单元在ξ和η坐标标方向取值范围是[-1，1]，以阶数为4的A0空间的提升小波尺度函数构造有限元插值函数，尺度函数支撑区间为[-(N-1)，N-1]，在A0空间位移场函数表示为w=Φae=Φ10⊗Φ20ae=Σk=12N-2akφ(ξ+N-1-k)Σl=12N-2alφ(η+N-1-l)]]>式中ae、ak、al均为展开系数。其中ae含有36个A0空间展开系数，单元自由度为36，在单元上配置12个节点，矩形的每边均布有4个节点，每个节点有3个自由度，即挠度以及挠度相对于ξ和η方向的转角。得到的小波空间单元刚度方程为Keue＝Pe式中Ke表示由尺度函数积分构成的刚度矩阵，ue表示单元的自由度，Pe表示单元节点载荷。
所说的通过构造逐级扩大的多分辨空间小波单元，实现提升小波薄板弯曲单元构造，方法如下小波的多分辨分析提供了互相嵌套的空间，即A0A1…Aj，相应的基函数是尺度函数φ(x)，而且作为Aj空间的子空间Aj-1，存在相应的补空间Dj-1，相应的基函数是小波函数ψ(x)，满足Aj=Aj-1+·Dj-1,]]>式中 表示直和运算。当采用A0空间的小波单元求解精度不满足要求时，通过不断增加补空间以扩大逼近函数空间，最终求解空间Aj可表示为Aj=A0+·D0+·D1+····+·Dj-1]]>在Aj空间位移场函数表示为w=Φae=Φ1⊗Φ2ae=[Φ10(ξ),ψ10(ξ),ψ11(ξ),···,ψ1j-1(ξ)]⊗[Φ20(η),ψ20(η),ψ21(η),···,ψ2j-1(η)]ae]]>
式中表示张量运算，上述表达式构造了在更大逼近函数空间的小波单元，因此可以实现对未知场函数更精确的逼近，只要选用足够大的逼近空间就可以获得高的分析精度。
由于本发明采用提升小波来构造薄板弯曲单元，具有下列区别于传统方法的显著优势1)通过迭代对偶提升能够构造出丰富的尺度函数和小波函数，为满足不同工程问题的求解提供了有效的途径；2)单元节点配置方便，易于构造多尺度提升算法，适宜求解奇异性问题；3)算法的数值稳定性好、运算速度快、求解精度高。


图1是阶数为4的提升小波的尺度函数和小波函数；图1(a)是阶数为4的提升小波的尺度函数；图1(b)是阶数为4提升小波的小波函数；图2为A0空间薄板弯曲单元的节点及自由度排列；图3为本发明逐级扩大的多分辨空间小波单元的构造过程；下面结合附图对本发明的内容作进一步详细说明。
具体实施例方式
图1说明了本发明专利中采用的提升小波的尺度函数和小波函数形状，横坐标表示函数的定义域，纵坐标表示函数的取值范围；图2说明了提升小波薄板弯曲单元构造中节点和自由度的排列，其中，横坐标和纵坐标的定义域均为
，共有12个节点排布在单元的边界上；图3说明了嵌套递进的多分辨空间小波单元的构造过程，由空间A0和补空间D0构成空间A1；由空间A1和补空间D1构成空间A2；直至由空间Aj-1和补空间Dj-1构成最终求解空间Aj。
本发明通过以下步骤实现1)通过迭代对偶提升，构造提升小波的尺度函数及小波函数；2)配置提升小波单元的节点，构造初始逼近空间的小波单元；3)通过构造逐级扩大的多分辨空间小波单元，实现提升小波薄板弯曲单元构造。
基于经典薄板理论的板单元，以挠度w为场函数，在分析平板弯曲时，认为平行于板的各层互不挤压，可忽略厚度方向的正应力；挠度沿着板厚度方向的变化可以略去，因而可以认为在同一厚度各点的挠度都等于中面的挠度；薄板中面的法线变形后仍保持为法线。利用上述假设将平板弯曲问题简化为二维问题，且全部应力和应变可用板中面的挠度w表示。
小波的多分辨分析提供了一个互相嵌套、逐级扩大的函数子空间序列，首先以A0空间作为初始逼近空间去构造单元，构造出A0空间的小波单元，需要提高精度时，可以通过不断增加细节空间以扩大逼近函数空间，构造出在更大的逼近函数空间的小波单元。
薄板势能泛函为Πp=12∫Ω∫κTDκdxdy-∫Ω∫wqdxdy]]>式中，q为均布载荷，w为位移场函数。κ为广义应变阵，如下式所示κ=-∂2w∂x2-∂2w∂y2-2∂2w∂x∂yT]]>D为弹性矩阵，表示为D=D01μ0μ1000(1-μ)/2]]>式中，μ为泊松比，D0为弯曲刚度，表示为
D0=Et312(1-μ2)]]>式中，E表示弹性模量，t表示板厚。
式中D0=Et312(1-v2)]]>是板的弯曲刚度，v是材料泊松比。
采用提升小波的尺度函数二维张量积作为插值逼近函数，位移场函数表示为w＝Φae＝Φ1Φ2ae式中，ae为单元上待求的小波插值系数列向量。
首先构造V0空间的矩形单元。图2中局部坐标系取值范围是[-1，1]，以N＝4的A0空间的提升小波尺度函数构造有限元插值函数，尺度函数见图1，尺度函数支撑区间为[-(N-1)，N-1]，在A0空间位移场函数表示为w=Φ1⊗Φ2ae=Φ10⊗Φ20ae=Σk=12N-2akφ(ξ+N-1-k)Σl=12N-2alφ(η+N-1-l)]]>则广义应变阵κ为κ=-∂2Φ1∂x2⊗Φ2ae-Φ1⊗∂2Φ2∂y2ae-2∂Φ1∂x⊗∂Φ2∂yae]]>由变分原理，令δПp＝0，可以得到小波空间单元刚度方程为K~eae=P~e]]>式中，小波空间分布载荷列阵为P~=∫∫Ωq(ξ,η)Φ1T⊗Φ2Tdξdη]]>小波空间刚度矩阵为K~=D0Γ12,2⊗Γ0,02+μΓ10,2⊗Γ2,02+μΓ12,0⊗Γ0,22+Γ10,0⊗Γ2,22+2(1-μ)Γ11,1⊗Γ1,12]]>
式中积分项分别为Γ12,2=∫Ω(d2Φ1dξ2)T(d2Φ1dξ2)dξ]]>Γ10,2=∫Ω(Φ1)T(d2Φ1dξ2)dξ]]>Γ12,0=(Γ10,2)T]]>Γ11,1=∫Ω(dΦ1dξ)T(dΦ1dξ)dξ]]>Γ10,0=∫Ω(Φ1)T(Φ1)dξ]]>小波系数ae没有明确的物理意义，给边界条件的处理和相邻单元间的连接带来困难。为此，需要将小波系数转化为节点位移。采用阶数为4的提升小波尺度函数构造的小波单元，其列向量ae中含有36个V0空间展开系数，单元自由度为36，因此可以在单元上配置12个节点，节点配置如图2，每个节点各有三个自由度uie=wiθxiθyi=wi∂wi∂y∂wi∂x,(i=1,2,...,12)]]>则单元自由度为ue=a1Ta2T···a12TT]]>从而获得单元自由度ue与V0空间小波展开系数ae的关系式ue＝Reae其中R＝[R1… R8]T
Ri=Φ1(ξi)⊗Φ1φ(ηi)Φ1(ξi)⊗Φ1(1)φ(ηi)Φ1(1)(ξi)⊗Φ1φ(ηi),(i=1,2,...,12)]]>式中i表示单元节点号，(ξi，ηi)为其对应局部坐标。
则物理空间单元刚度方程为Keue＝Pe式中，Ke=((Re)-1)TK~e(Re)-1]]>Pe=((Re)-1)TP~e]]>当采用A0空间的小波单元求解的精度不满足要求时，可以通过不断增加细节空间D0，D1，D2，…以扩大逼近函数空间，Aj空间可以表示为Aj=A0+·D0+·D1+····+·Dj-1]]>在Aj空间位移场函数表示为w＝Φae＝Φ1Φ2ae式中，Φ1=[Φ10(ξ),ψ10(ξ),ψ11(ξ),···,ψ1j-1(ξ)]]]>Φ2=[Φ20(η),ψ20(η),ψ21(η),···,ψ2j-1(η)]]]>这样可以构造出在更大的逼近函数空间的小波单元，如图3所示，从而获得对未知场函数更精确的逼近。
实施例1本实施例主要验证基于提升小波构造的薄板弯曲单元在薄板挠度计算上的应用。对于如图2所示的正方形薄板，边长为L，板厚为L/10，泊松比为0.3，抗弯刚度为D0，承受均布载荷q，计算在不同边界条件下薄板中点的挠度值。
采用阶数为4的提升小波构造的小波单元，计算在薄板中点的挠度值，结果如表1所示。四边固支精确解为0.0012652qL4/D0，四边简支精确解为0.0040624qL4/D0，可以看到，随着逼近函数空间的增大，求解结果越来越逼近未知场函数的精确解。
表1薄板中点挠度值的逼近解及误差

实施例2本实施例主要验证基于提升小波构造的薄板弯曲单元在薄板固有频率计算上的应用。对于如图2所示的正方形薄板，边长为L，板厚为t，抗弯刚度为D0，密度为ρ，计算在四边简支条件下前三阶固有频率。
采用阶数为4的提升小波构造的薄板弯曲单元，计算在薄板前三阶固有频率，结果如表2所示。四边简支薄板前三阶固有频率精确解，可以看到，随着逼近函数空间的增大，求解结果越来越逼近精确解。
表2正方形薄板前三阶固有频率


权利要求
1.一种提升小波薄板弯曲单元构造方法，其特征在于1)通过迭代对偶提升，构造提升小波的尺度函数及小波函数；2)配置提升小波单元的节点，构造初始逼近空间的小波单元；3)通过构造逐级扩大的多分辨空间小波单元，实现提升小波薄板弯曲单元构造。
2.根据权利要求1所述的一种提升小波薄板弯曲单元构造方法，其特征在于，所说的通过迭代对偶提升，构造提升小波的尺度函数及小波函数，包括以下步骤选择懒小波作为初始小波，通过对初始小波进行对偶提升获得提升小波的尺度函数及小波函数，即对逼近信号uj施加一个δ序列得uj＝{…，0，0，1，0，0，…}，取细节信号rj为0序列，不断进行迭代uj=uj+ΣmNj,mrmj]]>式中j表示尺度，m为整数，Nj，m是基于两尺度关系获得的迭代系数，当j→+∞时，得到一个连续的尺度函数φ(x)；对细节信号rj施加一个δ序列即rj＝{…，0，0，1，0，0，…}，取逼近信号uj为0序列，不断进行迭代rj=rj+ΣmMj,mumj]]>式中Mj，m是基于拉格朗日多项式获得的迭代系数，当j→+∞时，得到一个连续的小波函数ψ(x)。
3.根据权利要求1所述的一种提升小波薄板弯曲单元构造方法，其特征在于，所说的配置提升小波单元的节点，构造初始逼近空间的小波单元，包括以下步骤采用A0空间提升小波的尺度函数构造初始逼近空间小波单元，薄板单元在ξ和η坐标标方向取值范围是[-1，1]，以阶数为4的A0空间的提升小波尺度函数构造有限元插值函数，尺度函数支撑区间为[-(N-1)，N-1]，在A0空间位移场函数表示为w=Φae=Φ10⊗Φ20ae=Σk=12N-2akφ(ξ+N-1-k)Σi=12N-2aiφ(η+N-1-l)]]>式中ae、ak、al均为展开系数，其中ae含有36个A0空间展开系数，单元自由度为36，在单元上配置12个节点，矩形的每边均布有4个节点，每个节点有3个自由度，即挠度以及挠度相对于ξ和η方向的转角，得到的小波空间单元刚度方程为Keue＝Pe式中Ke表示由尺度函数积分构成的刚度矩阵，ue表示单元的自由度，Pe表示单元节点载荷。
4.根据权利要求1所述的一种提升小波薄板弯曲单元构造方法，其特征在于，所说的通过构造逐级扩大的多分辨空间小波单元，实现提升小波薄板弯曲单元构造，方法如下小波的多分辨分析提供了互相嵌套的空间，即A0A1…Aj，相应的基函数是尺度函数φ(x)，而且作为Aj空间的子空间Aj-1，存在相应的补空间Dj-1，相应的基函数是小波函数ψ(x)，满足Aj=Aj-1+·Dj-1,]]>式中 表示直和运算，当采用A0空间的小波单元求解精度不满足要求时，通过不断增加补空间以扩大逼近函数空间，最终求解空间Aj可表示为Aj=A0+·D0+·D1+····+·Dj-1]]>在Aj空间位移场函数表示为w=Φae=Φ1⊗Φ2ae=[Φ10(ξ),ψ10(ξ),ψ11(ξ),···,ψ1j-1(ξ)]⊗[Φ20(η),ψ20(η),ψ21(η),···,ψ2j-1(η)]ac]]>式中表示张量运算，上述表达式构造了在更大逼近函数空间的小波单元，因此能实现对未知场函数更精确的逼近，只要选用足够大的逼近空间就能获得高的分析精度。
全文摘要
本发明公开了一种提升小波薄板弯曲单元构造方法。该单元适合构造多尺度提升算法，用于解决薄板的结构分析问题。基于提升框架，通过迭代对偶提升能够构造出丰富的提升小波尺度函数及小波函数。采用提升小波可以构造不同逼近空间小波单元，从而实现薄板弯曲单元多尺度提升算法，算法的数值稳定性好、运算速度快、求解精度高。
文档编号G06F17/50GK101042711SQ200710017779
公开日2007年9月26日 申请日期2007年4月29日 优先权日2007年4月29日
发明者陈雪峰, 何正嘉, 何育民 申请人:西安交通大学