专利名称：一种单输入单输出rcs互连电路降阶方法
技术领域：
本发明属电子技术领域，具体涉及线性电路的模型降阶方法。
背景技术：
集成电路已发展到可以将包含10亿以上器件的电子系统集成在一块芯片上，即系统芯片SOC(System on One Chip)。针对数以百万计的大规模电路，如何在合理的时间内，快速准确地模拟和验证其设计的正确性已成为系统芯片SOC设计的瓶颈问题。据统计，SOC芯片模拟验证的时间已占到整个设计时间的70％。
在超高速超深亚微米SOC设计中，互连线的性能极大影响着整个芯片的性能。信号在互连线上传播时的串扰、延迟问题可能会引起时序偏差，逻辑错误，甚至会使芯片失效。为了精确模拟互连线的传输线行为，必须考虑互连线之间的电磁耦合效应，迄今为止大多数研究中采用分布式RLC(电阻，电感，电容)电路模型进行分析。电感是传统表征磁耦合效应的电路参数，由于互连线电路规模庞大，基于RLC模型建立的MNA电路方程中，电感矩阵大而密集，不具有稀疏性和正定性[1]，这就限制了电路方程求解过程各种矩阵快速计算方法的运用，从而直接影响模拟的时间和精度。最近，电纳S(Susceptance)开始被引入另一种表征磁耦合效应的电路参数[2-4]。电纳定义为电感的倒数，和电感相比，电纳的参数提取更容易，同时耦合电纳大小随着距离的增大快速减小。基于RCS(电阻、电容、电纳)模型建立的电路方程，电纳矩阵具有稀疏性、对称正定性和对角占优等优良特性，这些特性都有利于下一步方程求解效率的提高。因此，用RCS模型取代RLC模型进行电路等效将有助于提高互连线模拟效率。
由于SOC中互连线数目多，长度长，且电磁耦合效应显著，互连线等效电路规模相当庞大，电路阶数通常在104量级以上。为了在合理时间内分析互连线电路的性能，必须依靠高效率的数值方法，模型降阶技术是近十余年来研究的主流技术。
模型降阶技术是一类非常有效的提高电路模拟和验证速度的技术，它通过把原来大规模的电路降阶为一个小规模的电路模型，大大降低求解电路的规模，从而在较短的时间内对电路的功能和性能进行快速验证，以便对电路的设计方案及时加以改进。一种模型降阶技术的优劣，决定于算法的数值稳定性、无源性和精度。就线性电路来说，相应的模型降阶技术可分为两类，即一阶系统的降阶技术和二阶系统的降阶技术。通常，基于RLC模型的互连等效电路是一个一阶系统，而基于RCS模型的互连等效电路可表示为一个二阶系统[4][5]。目前，一阶线性系统的模型降阶技术已经比较成熟[6][7]；相对来说，二阶系统的降阶技术尚不成熟，两种主要算法ENOR和SMOR均存在数值不稳定的问题[5][4]，同时模拟精度有限。
现有技术的不足之处一个单输入单输出的RCS互连电路可以用以下MNA(改进节点电压)方程来描述GES-SEST0V(t)IS(t)+C00IV·(t)I·S(t)=BJ(t)0----(1)]]>其中V(t)和IS(t)表示电路中的未知节点电压向量和电纳支路电流向量；J(t)是电路的电流源向量；G，C和S分别代表电路中电阻、电容和电纳矩阵；ES和B分别对应电纳和电流源的关联矩阵。
对方程(1)进行拉普拉斯变换，得到(GES-SEST0+sC00I)V(s)IS(s)=BJ(s)0----(2)]]>其中V(s)，IS(s)和J(s)分别是V(t)，IS(t)和J(t)的拉普拉斯变换形式。显然，这是一个关于s的一阶系统。
在大多数实际应用中，我们关心的仅是电路中的节点电压，而电纳支路和独立电压源支路等辅助支路电流仅是计算的中间变量，因此，我们考虑从方程(2)中消去IS(s)，即获得电路的节点电压方程(sC+G+1sΓ)V(s)=BJ(s)----(3)]]>其中Γ=ESSEST,]]>EST为矩阵ES的转置矩阵。方程(3)是一个关于s的二阶系统，它和方程(2)描述的一阶系统等价，唯一的不同在于消除了方程(2)中的电纳支路电流。
若原电路中包含N个节点，则方程(3)的阶数也为N。为了将方程(3)的阶数降到一个较小的值n，需要采用模型降阶技术。
一种模型降阶技术的优劣，主要由三个因素决定(a)算法能否保证降阶后系统的无源性；(b)算法的数值稳定性；(c)矩匹配精度。
迄今为止，适用于形如式(3)的二阶系统的降阶技术仅有ENOR[5]和SMOR[4]两种。这两种算法的基本思想都是首先构造节点电压前n阶矩向量所构成的空间内的一组正交规范基Q，然后利用Q对原系统进行正交投影和合同变换，获得和原系统(3)具有相同结构的低阶系统(sC~+G~+1sΓ~)V~(s)=B~J(s)----(4)]]>其中C~=QTCQ,G~=QTGQ,Γ~=QTΓQ,V~=QTV,B~=QTB.]]>由于式(3)所示的系统中，矩阵C，G和Γ均具有对称半正定特性，因此对形如式(3)的原系统进行正交投影后，降阶后系统(4)能够保证无源特性，这在[5]中已被证明。ENOR和SMOR都是基于正交投影的降阶算法，因此都能保证降阶后系统的无源性。然而，这两种算法采用不同的方法构造正交规范矩阵Q，在数值稳定性和矩匹配精度方面仍都存在一些问题。
(-)ENOR算法(Efficient Nodal Order Reduction)ENOR算法[5]通过显式求解原系统的矩而后正交规范来构造正交规范矩阵Q。
假定s0为选择的频率展开点，引入一新变量z以满足s＝s0(1-z)(5)基于变量z，引入-变量向量Y(z)，满足(6)式Y(z)=V(z)1-z----(6)]]>结合(5)式和(6)式，方程(3)可写为(s0C+G)V(z)+Γs0Y(z)=s0CV(z)·z+BJ(z)----(7)]]>对方程(7)两端进行泰勒级数展开，可得(s0C+G)Vk+Γs0Yk=s0CVk-1+BJk----(8)]]>其中Vk，Yk和Jk分别表示在s0点展开V，Y和J的k阶矩，且V-1＝0。在基于矩匹配的降阶算法中，我们关心的通常都是冲激响应，因此Jk＝0(k≥1)。
对(6)式两端进行泰勒级数展开，有以下关系式Yk＝Vk+Yk-1(9)其中k≥0，V-1＝Y-1＝0。
将式(9)代入(8)，可得PVk=s0CVk-1-1s0ΓYk-1+BJk----(10)]]>其中P=s0C+G+1s0Γ.]]>基于式(10)，可依次求得电压向量V的前n阶矩，其后通Gram-Schmidt(革兰-施密特)过程对这n个矩向量正交化，即可获得正交规范矩阵Q。
ENOR是一种数值不稳定的算法，主要原因包含以下两方面(a)ENOR算法通过显式求解电压向量V的前n阶矩以构造正交规范矩阵Q，因此存在数值不稳定的问题；(b)在Gram-Schmidt过程中仅对电压向量V的n阶矩向量进行正交化，而变量向量Y的矩向量之间未进行正交化，因此，当n增大时，变量向量Y的矩向量元素的幅度可能快速增大，导致数值不稳定。
(二)SMOR算法(Susceptance-based MOR)为了克服中间变量向量Y的各阶矩向量所导致的数值不稳定问题，SMOR[4]通过消去中间变量向量Y来构造正交规范矩阵Q。
由式(9)所示的递归关系，可得到Yk=Σi=-1kVk,k≥-1----(11)]]>将式(11)代入(10)式，我们得到以下递归关系，其中消除了变量向量Y的各阶矩向量PVk=s0CVk-1-1s0ΓΣi=-1k-1Vi,k≥-1----(12)]]>V-1＝0，V0＝P-1BJ0(13)
SMOR算法基于以上递推关系构造Krylov子空间。为了加速模型降阶过程的速度，同时避免误差积累，SMOR算法中仅保留式(12)等号右边的前三项，即将(12)改写为下式PVk′=s0CVk-1′-1s0ΓVk-1′-1s0ΓVk-2′,k≥-1----(14)]]>其中V′k是Vk的近似。基于简化后的(13)和(14)式，可依次获得V′k并实现正交化。
通过在递推公式消除Y的矩向量，SMOR在一定程度上提高了降阶过程的数值稳定性。然而，SMOR仍通过显式求解电压向量V各阶矩向量来构造正交规范矩阵Q，因此SMOR仍存在数值稳定性的问题。另一方面，由于(12)式到(14)式的简化，SMOR算法得到的子空间只是原系统电压向量V各阶矩向量构成的子空间的近似。因此，SMOR得到的降阶后系统不可能精确地匹配原系统的矩，矩匹配精度不能被保证。
参考文献[1]D.Ling and A.Ruehli，Circuit Analysis，Simulation and Design-Advances in CAD for VLSI.Vol.3，Part II，Chap.11，Elsevier Science Publisher，1987. A.Devgan，H.Ji and W.Dai，How to Efficiently Capture On-Chip Inductance EffectsIntroducing a New Circuit Element K.Proc.of IEEE/ACMICCAD 2000，pp.150-155，2000. H.Zheng，B.Krauter，M.Beattie and L.Pileggi，Window-Based Susceptance Models forLarge-Scale RLC Circuit Analyses.Proc.of IEEE/ACMDATE 2002，pp.628-633，2002. H.Zheng and L.Pileggi，Robust and Passive Model Order Reduction for Circuits ContainingSusceptance Elements.Proc.of IEEE/ACMICCAD 2002，pp.761-766，2002. B.N.Sheehan，ENORModel Order Reduction of RLC Circuits Using Nodal Equations forEfficient Factorization.Proc.of IEEE/ACMDAC’99，pp.17-21，1999. R.W.Freund，Reduced-Order Modeling Techniques Based on Krylov Subspaces and TheirUse in Circuit Simulation.Numerical Analysis Manuscript，No.98-3-02，Bell Laboratories，Feb.1998. A.Odabasioglu，M.Celik and L.Pileggi，PRIMAPassive Reduced-Order InterconnectMacromodeling Algorithm.IEEE Trans.on CAD of Integrated Circuits and Systems，vol.17，no.8，pp.645-654，Aug.1998.
发明内容
针对以上问题，本发明提出一种基于二阶Arnoldi过程的单输入单输出RCS互连电路降阶方法，记为SAPOR，基于该降阶方法，可以对单输入单输出RCS互连电路进行有效地模拟。
本发明提出的基于二阶Arnoldi的单输入单输出RCS互连电路降阶方法，其具体步骤如下步骤一构造二阶系统对于一个单输入单输出的RCS互连电路，构造(如(3))式所示的二阶系统描述(sC+G+1sΓ)V(s)=BJ(s)]]>步骤二系统频移由于Jk＝0(k≥1)，原二阶系统(3)可写为(s2C+sG+Γ)V(s)＝sBJ0(15)对系统进行频移s＝s0+σ，有(σ2C+σD+K)V(σ)＝b0+b1σ (16)其中D＝2s0C+G，K=s02C+s0G+Γ,]]>b0＝s0BJ0，b1＝BJ0。
步骤三系统线性化引入一个新的变量向量Z(σ)，满足σCV(σ)+Z(σ)＝b1(17)将(17)式代入(16)式，可得到-σZ+σDV+KV＝b0(18)结合式(17)和(18)，有(1-σA)VZ=q0p0----(19)]]>其中A=-K-1DK-1-C0;]]>q0＝K-1b0，p0＝b1。
将(I-σA)移到方程(19)的右边，然后对方程两边进行Maclaurin级数展开VZ=(I+σA+σ2A2+σ3A3+···)q0p0----(20)]]>
显然， 是 的第i-1阶矩，q0和p0实际上分别是V和Z的第零阶矩。
步骤四构造正交规范矩阵方程(19)是方程(16)的线性化形式，其中(19)的等号右边与σ无关。如果 是方程(19)的解，则V一定是方程(16)的解，因此， 的第i-1阶矩的上半部分，即I0Ai-1q0p0,]]>一定等于V的第i-1阶矩。基于此结论，我们可利用二阶Arnoldi过程来获得由电压向量V的前n阶矩向量构成的Krylov子空间的正交规范矩阵Q。
二阶Arnoldi过程具体如下输入A，q0，p0和整数n输出正交规范矩阵Qn1.计算β＝‖q0‖计算q1p1=1βq0p0]]>2.对于j＝1，2，…，n-1循环计算qj+1pj+1=Aqjpj]]>3.对于i＝1，2，…，j循环计算hij=q·iTqj+1]]>计算qj+1pj+1=qj+1pj+1-hijqjpj]]>4.i循环结束，5.计算hj+1j＝‖qj+1‖6.如果hj+1j≅0,]]>停止(breakdown)7.否则计算qj+1pj+1=1hj+1jqj+1pj+1]]>8.j循环结束9.计算Qn＝[q1…qn]
步骤五正交投影和合同变换获得降阶系统利用Q对原N阶系统(3)进行正交投影和合同变换，获得(4)式所示的n阶降阶系统(sC~+G~+1sΓ~)V~(s)=B~J(s).----(4)]]>本发明具有如下优点1、高的降阶精度本发明采用基于Krylov子空间的二阶Arnodi方法来构造正交规范矩阵Q，可以证明利用Q对原系统进行正交投影获得的n阶降阶系统可以匹配原系统的前n阶矩。因此，本发明SAPOR算法具有高的降阶精度。
2、良好的数值稳定性ENOR通过显式求解电压向量矩向量来构造正交规范矩阵，是数值不稳定的算法。本发明基于Krylov子空间来构造正交规范矩阵，属于隐式获得矩向量的算法，具有良好的数值稳定性。
3、保证无源性本发明基于正交投影和合同变换来获得n阶降阶系统，保证了原系统的无源特性。
4、低的计算量和存贮量在构造正交规范矩阵过程中，仅包含唯一一次的矩阵求逆操作，即K-1，因为K是对称正定的稀疏矩阵，因此可通过稀疏矩阵的Cholesky分解技术来实现K-1，以提高计算效率。另一方面，二阶Arnoldi算法存在一个低存储量的计算版本，其中无需显式存储向量p1，p2，…，pn，从而节省了一半的存储空间。因此，本发明具有低的计算量和存储量。
图1 8位总线电路2 利用本发明SAPOR获得的不同阶数的降阶系统的频率响应曲线比较3 利用本发明SAPOR获得的不同阶数的降阶系统的频率响应误差曲线比较4 利用ENOR方法获得的不同阶数的降阶系统的频率响应误差曲线比较5 利用SMOR方法获得的不同阶数的降阶系统的频率响应误差曲线比较6 利用本发明SAPOR和ENOR，SMOR获得的相同阶数的降阶系统的频率响应误差曲线比较图具体实施方式
下面通过具体实施例进一步说明本发明。
对图1所示的8位总线电路(包含两根屏蔽线)，可采用相应的参数提取工具获得等效的RCS电路。等效电路中共有490个未知变量，包括330个节点电压和160个电纳电流。我们利用节点A的频率响应作为衡量降阶精度的标准。
首先我们利用本发明算法将原电路降阶到不同的阶数，即40、60、80，并比较降阶精度。图2是原系统的频率响应曲线和用本发明SAPOR获得的不同阶数的降阶系统的频率响应曲线比较图。图3是本发明SAPOR获得的不同阶数的降阶系统频率响应的误差比较。可以看到，随着降阶后系统阶数的增加，由于匹配矩数目的增加，降阶精度也升高，降阶后系统在更宽的频域范围内匹配原系统的频率响应。
为了比较，我们分别利用ENOR和SMOR算法对同一电路进行模拟。图4和图5中分别给出了基于ENOR和SMOR算法所获得不同阶数的降阶系统的频率响应误差曲线比较。另外，在图6中我们还给出了对于相同的降阶阶数80，本发明SAPOR与ENOR，SMOR获得的降阶系统的频率响应误差曲线比较图。不难发现，本发明比另两种算法的降阶精度高得多，同时，随着阶数的升高，ENOR和SMOR获得的降阶精度的提高并不显著，这主要归因于这两种算法的数值不稳定性。
除此以外，我们比较了对于相同的阶数，三种方法获得降阶系统所花费的时间，如下表所示
虽然SMOR花费的时间要比本发明SAPOR要少，可是在数值稳定性和降阶精度上的大幅提高使本发明SAPOR优于SMOR方法。
本电路实例表明，本发明提出的基于二阶Arnoldi的模型降阶技术具有高的降阶精度，良好的数值稳定性和低的计算量，可有效地应用于单输入单输出RCS互连电路的模拟。
权利要求
1.一种基于二阶Arnoldi过程的单输入单输出RCS互连电路的降阶方法，其特征在于具体步骤如下步骤一构造二阶系统对于一个单输入单输出的RCS互连电路，构造(3)式所示的二阶系统描述(sC+G+1sΓ)V(s)=BJ(s);---(3)]]>步骤二系统频移由于Jk＝0(k≥1)，原二阶系统(3)可写为(s2C+sG+Γ)V(s)＝sBJ0(15)对系统进行频移s＝s0+σ，有(σ2C+σD+K)V(σ)＝b0+b1σ (16)其中D＝2s0C+G，K=s02C+s0G+Γ,]]>b0＝s0BJ0，b1＝BJ0；步骤三系统线性化引入一个新的变量向量Z(σ)，满足σCV(σ)+Z(σ)＝b1(17)将(17)式代入(16)式，得到-σZ+σDV+KV＝b0(18)结合式(17)和(18)，有(I-σA)VZ=q0p0---(19)]]>其中A=-K-1DK-1-C0;]]>q0＝K-1b0，p0＝b1，将(I-σA)移到方程(19)的右边，然后对方程两边进行Maclaurin级数展开VZ=(I+σA+σ2A2+σ3A3+···)q0p0---(20)]]>显然，Ai-1q0p0]]>是VZ]]>的第i-1阶矩，q0和p0分别是V和Z的第零阶矩；步骤四构造正交规范矩阵利用二阶Arnoldi过程来获得由电压向量V的前n阶矩向量构成的Krylov子空间的正交规范矩阵Q；步骤五正交投影和合同变换获得降阶系统利用Q对原N阶系统(3)进行正交投影和合同变换，得到降阶矩阵 和降阶向量 C~=QTCQ,G~=QTGQ,Γ~=QTΓQ,V~=QTV,B~=QTB]]>原N阶系统可降阶为(4)式所示的n阶系统，N＞＞n(sC~+G~+1sΓ~)V~(s)=B~J(s);---(4)]]>其中V(t)表示电路中的未知节点电压向量；J(t)是电路的电流源向量；G和C分别代表电路中电阻、电容矩阵；Γ=ESSEST,]]>其中S和ES分别为电纳矩阵和电纳的关联矩阵；B对应电流源的关联矩阵，V(s)和J(s)分别是V(t)和J(t)的拉普拉斯变换形式。
2.根据权利要求1所述的降阶方法，其特征在于所述二阶Arnoldi过程的具体步骤如下输入A，q0，p0和整数n(1)计算β＝‖q0‖计算q1p1=1βq0p0]]>(2)对于j＝1，2，…，n-1循环计算qj+1pj+1=Aqjpj]]>(3)对于i＝1，2，…，j循环计算hij=qiTqj+1]]>计算qj+1pj+1=qj+1pj+1-hijqjpj]]>(4)i循环结束，(5)计算hj+1 j＝‖qj+1‖(6)如果hj+1j≅0,]]>停止(breakdown)(7)否则计算qj+1pj+1=1hj+1jqj+1pj+1]]>(8)j循环结束(9)计算Qn＝[q1…qn]。
全文摘要
本发明属电子技术领域，具体为一种基于二阶Arnoldi过程的单输入单输出RCS互连电路降阶方法，具体步骤包括构造二阶系统、系统频移、系统线性化、利用二阶Arnoldi过程获得由电路中电压向量V的前n阶矩向量所构成的Krylov子空间的正交规范矩阵Q，最后，利用Q对二阶原系统进行正交投影和合同变换，得到n阶的降阶系统。本发明的特点是降阶系统可匹配原系统的前n阶矩，从而具有高的降阶精度，二阶Arnoldi过程保证了降阶算法的数值稳定性以及低的计算量和存贮量，同时基于正交投影和合同变换确保了降阶系统的无源性。
文档编号G06F17/50GK1604092SQ20041006782
公开日2005年4月6日 申请日期2004年11月4日 优先权日2004年11月4日
发明者曾璇, 苏仰锋, 王健, 刘榜 申请人:复旦大学