面向脉冲星导航系统的分数阶可观测性分析方法
【专利摘要】本发明提供一种面向脉冲星导航系统的分数阶可观测性分析方法，包括预备阶段和系统可观测性分析阶段，所述预备阶段包括建立导航滤波所需的航天器的轨道动力学模型和脉冲星导航模型，所述系统可观测性分析阶段包括测量模型对时间求分数阶微分，获取分数阶测量矩阵，构造可观测性分析矩阵，对条件数重新排序，计算指数加权条件数，获得可观测性分析结果。根据本发明技术方案获得的可观测性分析结果更为精确，充分利用了历史测量信息，能够体现轨道要素对导航精度的影响，并且计算简单，实现方便，节约系统资源，能够高效获取分析结果。
【专利说明】
面向脉冲星导航系统的分数阶可观测性分析方法
技术领域
[0001] 本发明属于航天器自主导航领域，特别涉及一种面向脉冲星导航系统的分数阶可 观测性分析方法。
【背景技术】
[0002] 在航天器自主导航领域，系统可观测性分析是至关重要的。可观测性分析结果可 反映航天器导航性能。这体现在以下方面：（1)若可观测性矩阵是满秩的，自主导航系统可 正常工作;否则，系统无法正常工作。（2)可观测性矩阵的条件数能反映系统的好坏，即条件 数较大时导航系统性能差，反之性能好。
[0003] 可观测性分析方法可分为两个步骤:可观测性矩阵的构造，以及条件数的计算。已 有学者提出了两种可观测性矩阵构造方法。在PWCS(piece_wise constant systems)中，分 别对测量模型和状态转移模型求导，可获得测量矩阵和状态转移矩阵。利用这两个矩阵可 构造可观测性矩阵。值得注意的是，测量矩阵和状态转移矩阵与当前的测量值和状态相关。 因此，该可观测性模型与历史数据关系不大。在2014年，崔平远教授提出了基于李导数的可 观测性矩阵构造方法。由于李导数注重局部信息，因此李导数方法不能反映整个导航系统 的性能。总之，以上两个可观测性方法不能充分利用历史测量信息。传统的条件数用于反映 导航系统性能。在2009年，房建成院士提出了混合条件数方法。
[0004] X射线脉冲星导航是一种新兴的航天器自主导航方法。在此系统中，测量模型可近 似为线性模型，状态转移模型为非线性。在这种情况下，由PWCS和李导数方法构造的可观测 性矩阵相等，并且是常值。他们不能反映轨道对导航性能的影响。即对于不同轨道，可观测 矩阵是相同的。因此，对于不同的轨道，传统条件数和混合条件数都无法给出不同的分析结 果。从以上的分析可以看出，可观测性矩阵的构造至关重要。
【发明内容】
[0005] 本发明提出了一种面向脉冲星导航系统的分数阶可观测性分析方法，旨在为脉冲 星导航系统提供精确的评估。
[0006] 本发明技术方案提供一种面向脉冲星导航系统的分数阶可观测性分析方法，包括 预备阶段和系统可观测性分析阶段，
[0007] 所述预备阶段，包括建立导航滤波所需的各种模型，包括以下步骤，
[0008] 步骤A1，建立航天器的轨道动力学模型，实现如下，
[0009] 设航天器的状态矢量X为，
[0011] 其中，r = [x，y，z]T和v= [vx，vy，vz]%v别为航天器的位置和速度矢量，x，y，z分别 为航天器的位置在三轴上的分量，v x，vy，分别为航天器的速度在三轴上的分量；
[0012] 则航天器的轨道动力学模型为，
[0014] 其中，.f、i分别为r，v的导数，|r I表示矢量r的模，AF表示其他摄动力造成的加 速度；
[0015] 表示为，
[0016] X{t) = f{Xj) + (〇{t) (式'-)
[0017] 其中，ir是状态矢量X的导数，文(〇为时刻t的文,f(x，t)为航天器的状态转移模 型，μ是火星的引力常数，ω (t)为时刻t航天器的导航系统噪声；
[0018] 步骤A2,建立脉冲星导航模型，
[0019]
[0020] 其中，分别是脉冲到达航天器和太阳系质心的时间，叫是第j颗脉冲星方位 矢量，Do是脉冲星到太阳系质心的距离，b是太阳系质心相对于太阳质心的位置矢量，c是光 速，??]是1'(^测量噪声，I · I表示矢量的模，j表示脉冲星编号，」=1，2，-_^表示导航脉冲 星数量；
[0021] 所述系统可观测性分析阶段包括构造可观测性分析矩阵和计算条件数，获得可观 测性分析结果，包括以下步骤，
[0022]步骤B1，分数阶可观测性矩阵构造包括以下步骤，
[0023]步骤B11，测量模型对时间t求分数阶微分，
[0024]
[0025] 其中，v为分数阶微分的阶数，0<ν<1;Τ为脉冲星导航滤波周期，Z为脉冲星导航 测量值，η表示导航脉冲星方位矢量矩阵;r(t)为t时刻航天器的位置矢量，Γ (.)为Gamma函 数，
表示Z的v阶Grunwald-Letnikov分数阶导数;m!表示截止数变量m的阶乘；
[0026] 根据脉冲到达航天器和太阳系质心的时间t崎定义如下，
[0028]步骤B12,对状态矢量X求导，得到分数阶测量矩阵如下式，
[0029]
[0030] 其中，03X3为0矩阵，I6X6为单位矩阵，F是状态转移模型，
[0032]其中，矩阵S的表达式为，
[0034] 步骤B13，构造分数阶可观测性矩阵0，[0035]
[0036]步骤B2,指数加权条件数计算包括以下步骤，
[0037]步骤B21，计算分数阶可观测性矩阵的条件数，对条件数重新排序，得到序列c(i)， i = l，2，'"N，c(l)彡c(2)彡c(3)彡…彡c(N)，N为条件数的总数；
[0038]步骤B22，计算指数加权条件数C，指数加权条件数C越大表明导航性能越好，反之 导航性能越差，
[0040]其中，a和b是预设的系数，e是数学常数。
[0041 ] 而且，a和b的取值分别为20和150。
[0042] 本发明充分利用了分数阶微分的记忆性，构造了分数阶可观测性矩阵，其分析结 果可体现轨道要素对脉冲星导航的影响。因此，本发明对航天器自主导航具有重要的实际 意义。
[0043] 本发明与现有技术相比的优点在于：
[0044] (1)可观测性分析结果更为精确。条件数是用于判断导航性能好坏的一个重要指 标。传统PWCS和李导数方法都不能体现轨道要素对脉冲星导航性能的影响。而本发明根据 分数阶微分的记忆性，从全局出发，充分利用了历史测量信息，构造分数阶可观测性矩阵。 分数阶可观测性分析矩阵能体现轨道要素对导航精度的影响，且分析结果与仿真结果一 致。
[0045] (2)分数阶可观测性分析矩阵及指数加权条件数计算量小。基于李导数的方法涉 及多次进行复杂的李导数运算，计算量很大。本发明技术方案仅涉及几次矩阵乘法和加法， 计算简单，实现方便，节约系统资源，能够高效获取分析结果。
【附图说明】
[0046] 图1为本发明实施例的分数阶可观测性分析流程图。
【具体实施方式】
[0047] 本发明技术方案可采用计算机软件方式支持自动运行流程。以下结合附图和实施 例详细说明本发明技术方案。
[0048] 本发明首先，构造分数阶测量矩阵，这样可以充分利用历史测量信息。然后，结合 状态转移矩阵，构造分数阶可观测性矩阵。最后，提出指数加权条件数，将一个周期内变化 的条件数合成为一个值，利用该值来评价导航系统精度。
[0049] 本发明实施例采用火星探测器，导航脉冲星为PSR B0531+21，B1821-24,和B1937+ 21。涉及的火星卫星轨道，如表1所示。
[0050]表1金星快车初始轨道参数
[0052] 本发明提供一种面向脉冲星导航系统的分数阶可观测性分析方法，包括预备阶段 和系统可观测性分析阶段。
[0053] 所述预备阶段，包括建立导航滤波所需的各种模型，包括以下步骤，
[0054]步骤A1，建立航天器的轨道动力学模型，实现如下，
[0055]设航天器的状态矢量X为，
[0057]其中，r= [x，y，z]T和ν= [νχ,νγ,νζ]1"*别为航天器的位置和速度矢量，x，y，z分别 为航天器的位置在三轴上的分量，vx，vy，分别为航天器的速度在三轴上的分量；
[0058]则航天器的轨道动力学模型为，
[0060]其中，/·、f分别为r，v的导数，|r|表示矢量r的模，AF表示其他行星、太阳光压等 其他摄动力造成的加速度。
[0061]式(二)表示为，
[0062] X⑴= /(AV) + ?kj (式三）
[0063] 其中，太是状态矢量X的导数，文为时刻t的；t,f(X，t)为航天器的状态转移模 型，μ是火星的引力常数，ω (t)为时刻t航天器的导航系统噪声；
[0064] 步骤A2，建立脉冲星导航模型；
[0065]
[0066] 其中，分别是脉冲到达航天器和太阳系质心的时间；叫是第j颗脉冲星方位 矢量;Do是脉冲星到太阳系质心的距离，b是太阳系质心相对于太阳质心的位置矢量，c是光 速，?]是1'(^(到达时间，time-of-arrival)测量噪声，| · |表示矢量的模。j表示脉冲星编 号，j = 1，2，…J，J表示导航脉冲星数量。
[0067] 所述系统可观测性分析阶段包括构造可观测性分析矩阵和计算条件数，获得可观 测性分析结果。
[0068]步骤B1，分数阶可观测性矩阵构造包括以下步骤：
[0069]步骤B11，测量模型对时间t求分数阶微分。
[0070]
[0071 ]其中，v为分数阶微分的阶数，0 < v< 1。本发明实施例中，分数阶阶数取0.2。T为脉 冲星导航滤波周期，本发明实施例中，取值为300%Ζ为脉冲星导航测量值，n=[m，n2，'"nj ]τ表示导航脉冲星方位矢量矩阵。r(t)为t时刻航天器的位置矢量，Γ (.)为Gamma函数， 表示Z的v阶Grunwald-Letnikov分数阶导数。m!表示截止数变量m的阶乘。
[0072] 根据脉冲到达航天器和太阳系质心的时间以和^定义如下，
[0074] 步骤B12,上式对状态矢量X求导，得到分数阶测量矩阵如下式。
[0075]
[0076] 其中，03X3为0矩阵，I6X6为单位矩阵，F是状态转移模型，即状态转移矩阵：
[0078]其中，矩阵S的表达式为：
[0080] 步骤B13,利用式(七，八)构造分数阶可观测性矩阵0。[0081]
[0082]步骤B2,指数加权条件数计算包括以下步骤：
[0083]步骤B21，计算分数阶可观测性矩阵的条件数，具体计算为常见矩阵运算方式，本 发明不予赘述;对条件数重新排序，得到序列c(i)，i = l，2,…N，c(l)彡c(2)彡c(3)彡…彡c (N)，N为条件数的总数。
[0084]步骤B22，计算指数加权条件数C。
[0086] 其中，a和b是预设的系数，e是数学常数。具体实施时，本领域技术人员可自行预设 a和b的取值，可采用经验值。本发明实施例中采用优选的取值，分别为20和150。
[0087] 本发明的可观测性分析结果为指数加权条件数，该值与导航性能息息相关，具体 表现为:指数加权条件数越大，表明导航性能越好;反之，导航性能越差。
[0088] 本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领 域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替 代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。
【主权项】
1. 一种面向脉冲星导航系统的分数阶可观测性分析方法，其特征在于:包括预备阶段 和系统可观测性分析阶段， 所述预备阶段，包括建立导航滤波所需的各种模型，包括W下步骤， 步骤A1，建立航天器的轨道动力学模型，实现如下， 设航天器的状态矢量X为，釘--') 其中，r=[x，y，z]T和v=[vx，vy，vz]τ分别为航天器的位置和速度矢量，x，y，z分别为航 天器的位置在Ξ轴上的分量，vx，vy，vz分别为航天器的速度在Ξ轴上的分量； 则航天器的轨道动力学模型为，巧二） 其中，?Κ F分别为r，v的导数，|r|表示矢量r的模，AF表示其他摄动力造成的加速度； 表示为，(式H) 其中，乂是状态矢量X的导数，义(0为时刻t的义，f(X，t)为航天器的状态转移模型，μ是 火星的引力常数，ω (t)为时刻t航天器的导航系统噪声； 步骤A2，建立脉冲星导航模型，其中，t巧日分别是脉冲到达航天器和太阳系质屯、的时间，nj是第j颗脉冲星方位矢量， Do是脉冲星到太阳系质屯、的距离，b是太阳系质屯、相对于太阳质屯、的位置矢量，C是光速， 是T0A测量噪声，I · I表示矢量的模，j表示脉冲星编号，j = l，2，一J，J表示导航脉冲星数 量； 所述系统可观测性分析阶段包括构造可观测性分析矩阵和计算条件数，获得可观测性 分析结果，包括W下步骤， 步骤B1，分数阶可观测性矩阵构造包括W下步骤， 步骤B11，测量模型对时间t求分数阶微分，其中，V为分数阶微分的阶数，0<ν<1;Τ为脉冲星导航滤波周期，Z为脉冲星导航测量 值，η表示导航脉冲星方位矢量矩阵;r(t)为t时刻航天器的位置矢量，Γ (.)为Gamma函数， 表示Z的V阶Grunwald-LetnAov分数阶导数;m!表示截止数变量m的阶乘； 根据脉冲到达航天器和太阳系质屯、的时间t苗呜:定义如下，步骤B2，指数加权条件数计算包括W下步骤， 步骤B21，计算分数阶可观测性矩阵的条件数，对条件数重新排序，得到序列c(i)，i = 1，2，。礼(3(1)《(3(2)《(3(3)參''《(3邮，賦1条件数的总数； 步骤B22，计算指数加权条件数C，指数加权条件数C越大表明导航性能越好，反之导航 性能越差，(式十一） 其中，a和b是预设的系数，e是数学常数。2.根据权利要求1所述面向脉冲星导航系统的分数阶可观测性分析方法，其特征在于： a和b的取值分别为20和150。
【文档编号】G01C21/24GK106092092SQ201610387902
【公开日】2016年11月9日
【申请日】2016年6月2日 公开号201610387902.4, CN 106092092 A, CN 106092092A, CN 201610387902, CN-A-106092092, CN106092092 A, CN106092092A, CN201610387902, CN201610387902.4
【发明人】刘劲, 吴谨, 李娟 , 邓慧萍, 王文武, 朱磊
【申请人】武汉科技大学